0.00...1是个什么数?

算法与数学之美mp 2017-01-14 23:13

0.00...1是个什么数? 来源:原42松博客 编辑:Gemini 某些人仍然根据有限小数的经验,认为,0.99...不等于1。他们认为,0.99...虽然是'...

0.00...1是个什么数?

来源:原42松博客

编辑:Gemini

某些人仍然根据有限小数的经验,认为,0.99...不等于1。他们认为,0.99...虽然是无限小数,但是有最后一位,就是在无穷远处的那一位,因此0.9循环可以写成0.99...9,显然它与1差了0.00...1,小数点后无穷个0,最后跟了个1。

这种关于无限小数的想法当然是错误的。回忆一下在实数系中引进无限循环小数的目的和依据:有理数在实数中稠密(即处处都有,任何一个小区间里都有有理数),又在有理数中稠密,因此它在实数集中也稠密。因此我们可以用一个m/10^n形式有理数的数列去逼近任何的实数。因此我们的无限小数作为{m /10^n}数列的完成式,在小数点后面跟着的就是个由0-9数字组成的数列,它的每一项都跟自然数有一一对应的关系,而自然数根本就没有最后一项。可见,0.99...是无法写成0.99...9的。

那么,0.00...1是个什么数?

首先指出,它既不是有限小数,也不是我们平常所见的无限小数,因此它根本不是一个实数。

它不是个有限小数,这是显然的,因为小数点后面有无穷个0。那它为什么不是无限小数呢?前面已经说过,任何一个无限小数,后面的小数位按从左到右的顺序与自然数一一对应,任何一个小数位都对应一个有限的自然数。反观0.0...1,最后的那个1,不对应任何有限的自然数,前面的无限多个0就已经把所有自然数都对应完了。从小数运算规律来看的话,如果要把0.0...1与0.99...相加,那么0.99...中所有的9都与0.0...1中的0对应相加,0.0...1最后的那个1要加在哪一位呢?如果按无限小数对应实数的规则把它放在实数轴上,它要放在哪里呢?它非负,又小于所有形如 1/10^n的数,这样的数只有0。因此前面的无限多个0就已经决定了它只能是0了,后面的1对它的值来讲没有意义,没有存在的必要。

虽然在实数的范围内它是没有必要存在的表达式,但我们依然有必要从形式上讨论它,因为现在的数系发展早已经超越了实数,从一维的实数扩展到高维的复数、四元数等;从标准的实数扩展到了非标准的超实数、广义实数等。所以数的范围在扩大,概念并不唯一。在其它数系中是否可能有它的身影呢?我们最好先看看这个数的特征。

因为小数点后面的0的个数已经是无限的了,这些0占满了所有以自然数为标号的小数位,然后在这些无穷多个0后面紧接着又出现了一个1,已经超出了以自然数为下标的数列的研究范围。对于这个形式上的“数”,仅有自然数的知识就不够了,需要把自然数向无穷情形做一种推广。回想上一节的无穷基数的理论,它就是从“ 个数”角度把自然数推广到了无穷的情形,但对于我们的问题,光是讨论小数位的个数是不行的,因为我们说过,在可数无穷多个元素基础上增加一个元素,元素个数没什么改变,仍然是可数无穷,你很容易把最后添加的那个1对应自然数的第一个元素,然后把原来的每个对应位都向后移动一位,所有元素仍然是一一对应于自然数集的。

但是注意到,一旦把一个小数的数位顺序打乱,它的值就变了,它必须保持原来的顺序。因此我们需要一些无穷序数的知识,它是自然数向无穷世界的另一种推广。

一般而言,序数是用来表示有序序列中位置的数,量数(或叫基数)是用来表示“有多少数量”的数。

序数对应于排列,如在以下句子中的“一”及“二”:“这人一不会打字,二不懂速记,所以不可以做秘书。”量数对应于量词,例如在以下句子中的“一”及“四”:“有一个橙,有四个柑。”

有关序数的定义,你可以查阅wiki百科“序数”词条。但那些形式化的定义对初学者来说都太抽象。我们可以先看一下序数的样子。首先需要知道“良序集”的概念:

在一个集合A上定义一个二元关系“≤”,如果满足:

①对每个x∈A,有x≤x(自反性)。②若x≤y与y≤x则x=y(反对称性)。③若x≤y,y≤z则x≤z(传递性)。④对任何x∈A,y∈A,x≤y或y≤x中必有一成立,则称"≤"为A上的全序关系,称A在“≤”关系下为全序集,简记为(A,≤)。

自然数集、实数集在数的“小于等于”关系下都是全序集,数的“小于等于”关系就是这些集合上的全序关系。对于集合{{1,2,3},{1}, {2}},包含关系“?”就不是全序关系,因为包含关系虽然满足上述的前三条,但在这个特殊集合上它不满足第四条,{1}和{2}就没有谁包含谁的关系。

如果一个全序集(A,≤),它的任何非空子集都有最小元素,则称≤为良序关系,A在“≤”下为良序集。自然数就是一个典型的良序集,实数集在数的大小意义下就不是良序集,不存在大于0的最小元素。

从直观上看一个良序集是什么样子呢?

首先,因为是良序,那么A中有唯一一个最小元素,记为a0,去掉a0之后还有一个最小元素,记为a1,依此类推,可得一列元素an,使得

a0≤a1≤a2≤a3≤...

因为an各不相同,所以可以按照通常的习惯把所有的"≤"改成"<"。任何不在这个序列中的元素(如果有的话)都比这列元素中的任何一个大。从A中去掉所有的an,如果还能得到一个非空子集的话,那么这个子集中还有最小元素。刚才标记an序列的时候所有的自然数都用上了,那么这个元素就赋于一个新的标号:记为aω,依此类推,又得到一列元素a(ω+n),所以现在A中的前面一部分元素在"<"的顺序下排成这个形状:

其中三点的省略号代表有限个元素,六点的省略号代表无限个元素。an和aω之间有无穷个自然数标号元,a(ω+n)和a(ω*2)之间有无穷多个(ω+自然数)标号的元素,a(ω*n)与a(ω^2)之间有无穷个标号为形如(ω*k+r)(k,r都为自然数)的元素......

这里的元素下标就是序数。序数,就是标定良序集中元素顺序的标号,是自然数的一种推广。初步的,我们得到最前面一些序数的形状:

但是,这样的描述缺乏数学上的严谨性,总不能把一个数学上的序数概念定义为“如上所示的一列数”吧?另外,上面的一列数有什么性质?是否有一个最大元?是否每一个良序集都可以用序数给每一个元素标号?这些问题都有待严格定义序数。

序数的一个直观且严谨的定义是用归纳法定义的,它完全是序数生成过程的描述:

1) 空集 Ø 是序数;

2) 如果a是序数,则a的后继 a∪{a} 也是序数;

3) 如果A是由序数构成的集合,那么A中所有元素的并集也是序数;

4) 所有的序数都由上述三条界定。

由上面的定义,我们可以写出开头的一些序数如下:

Ø,Ø∪{Ø}={Ø},{Ø}∪{{Ø}}={Ø,{Ø}},{Ø,{Ø},{Ø,{Ø}}},...

将开头的这些有限序数分别简记为1,2,3,4,...,n,它们就是自然数在集合论中的定义。由此可见,

0=Ø,1={Ø}={0},2={Ø,{Ø}}={0,1},3={Ø,{Ø},{Ø,{Ø}}}={0,1,2}...n={0,1,2,...,n-1},n+1=n∪{n}={1,2,3,...,n}。

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