GET RID OF "根号"

算法与数学之美mp 2017-01-14 23:13

GET RID OF"根号" 来源:武外英中 周栗 编辑:Gemini 同学们在平常遇到的计算里最头疼的就是根号吧。一般情况下同学们可能看见根号就赶紧拿出计算器'...

GET RID OF"根号"

来源:武外英中 周栗

编辑:Gemini

同学们在平常遇到的计算里最头疼的就是根号吧。一般情况下同学们可能看见根号就赶紧拿出计算器。今天我想给大家分享下自己的心得,让大家不再“畏惧”根号,让同学们计算根号时不再需要计算器,甚至不再需要草稿纸。下面的内容分为两大块:如何算根号和如何巧算根号。

如何手动开方?

先告诉大家如何开平方根,我们拿7487267841这个数来举例子,我们先把这个数划分好位数,每两位划分一次,变成74,87,26,78,41,这一共有5段,就代表结果是5位数。我们从左往右算,第一位的计算方法是找一个平方不超过第一段数(74)的最大数(8),于是,

,再将得到的平方与原数作差,

然后接下来各位数计算的方法是将已得到的结果乘以2,然后再找一个最大的数,使得这个数加上刚刚的乘积再乘以本身不超过之前的差,再作差,

(80000*2+6000)*6000=996000000;1087267841-996000000=91267841;

,

(86000*2+500)*500=86950000;91267841-86950000=5017841;

;

(86500*2+20)*20=3460400;5017841-3460400=1557441;

;

(86520*2+9)*9=1557441;1557441-1557441=0;

于是我们得到了结果,

你可能会感到有些惊讶,这是为什么,为什么可以这么算根号?其实事实很简单,就是牛顿二项式定理:

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=a^2+(a*2+b)*b,

其中,a是计算中已经得到了的结果:

的86000,

b是所需求出的下一位数:

中86500的5。

这样对照看来,你是不是明白了?

这时候,有人问到,那可以用这个方法开三次方根吗?四次呢?答案都是可以的,只不过会复杂许多。

当n=3时,(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,所以如果想开三次方根,我们只要每次找一个最大数b(已得到的结果为a),使得3a^2b+3ab^2+b^3的数值小于之前所得到的差就可以了,不过这次要每三位划分为一段,拿3796416举例,

于是,。

以上我是用整数的多次方数来举的例子。大家不妨试试任意数,然后按照保留多少位有效数字的条件来计算,保留几位有效数字就意味着计算几次。这个方法是始终有效的。

如何巧算根号?:误差法。

如果你研究研究怎样巧算,我相信你也会发现这个方法。在误差法里,我们适当的省去数据的位数或是略微修改数据来达到巧算的目的。毋庸置疑,这个方法可以大大提高计算速度。但是在使用的时候要注意精确度。注意这种方法在计算根号很有作用,但是在计算次方时误差会被放大很多倍。

在本周的一节物理课上,老师出了下面这道题:

一个球从10米高的地方落到地面需要几秒?(g=9.81m/s^2,忽略空气阻力)

然后其他同学都纷纷掏出了计算器,我在盘算几秒后发现这道题可以巧算,便随即在草稿纸上写下了1.43。我的同桌表示十分惊讶,问我是怎么算出来的,我坏笑道:“关注我的微信公众号你就知道了。”

事实上,这题用误差法可以很快算出来,下面便是计算的过程:

其中,

由大家都熟知的,

我们就可以很快得到

对于1.01这个数,可以运用巧算,

1 4 1 4

+ 1 4 1 4

= 1 4 2 8 2 4=1.42824,

最后保留两位小数得,t=1.43。

如果你按了计算器,你会看到这个结果:1.42784......。

你现在可能在想好神奇,怎么一下就算出来的?也有可能在想,我还没弄懂呢。。。那我就先解释解释吧。

计算这个题的核心就是:

让我把它写的更清楚一些,

最后一个括号里的数据显然是在1-0.0005和1+0.0002之间的,而根号二在1.4135和1.4145之间的,因此1.01*(1-0.0005)*1.4135<t<1.01*(1+0.0002)*1.4145,所以1.426<t<1.429,也就是三位有效数字下的t为1.43。现在大家应该明白了吧?你可能会说,这好复杂啊,还不如直接按计算器。但是如果你仔细梳理一遍,你会发现过程无比简单:,其中的误差分析只是脑袋里估计的结果,并不需要像我之前一样完整严谨的写一遍。如果你多计算几次,就可以发现误差大致的范围也就不用具体分析了。所以用误差法计算这道题只是一秒钟的功夫,连草稿纸都不需要!

下面我给大家设计了一道例题,请大家尽量不要用草稿纸与计算器:

一列过山车上共有22个座位,当坐满人的过山车和空过山车都以平均速度前进的时候,它们的动能差是111.8kJ,如果人们的平均质量是60kJ,那么过山车的平均速度是多少?(结果保留整数)

最新文章
猜你喜欢